BENTUK ALJABAR DAN OPERASINYA

Apa yang akan kamu pelajari?

Menjelaskan pengertian suku, faktor, dan suku sejenis
Menyelesaikan operasi hitung suku sejenis dan tidak sejenis
Menggunakan sifat perkalian bentuk aljabar untuk menyelesaikan soal
Kata Kunci:
· Variabel
· Bentuk aljabar
· Suku sejenis
· Koefisien
· Faktor

Pernahkah kamu sakit batuk? Apa yang kamu lakukan? Apakah kamu ke dokter? Bila kamu memeriksakan diri atau berobat ke dokter biasanya dokter akan memberikan resep.
Contoh obat yang dibeli dengan resep dokter:
Pada botol Vitamin C tertulis sehari 3 1.
Pada botol obat batuk tertulis sehari 2 2 sendok teh.
Apa arti “3 1” atau “2 2” itu?
Vitamin C 3 1 artinya dalam sehari vitamin C harus diminum 3 kali, sekali minum 1 tablet.
Dengan perkataan lain dalam sehari banyaknya vitamin C yang harus diminum adalah 3, yaitu 1 + 1 + 1. Sehingga 3 1 artinya 1 + 1 + 1.
Obat batuk 2 2 sendok teh artinya dalam sehari obat batuk harus diminum 2 kali, sekali minum 2 sendok teh.
Dengan perkataan lain dalam sehari banyaknya obat batuk yang harus diminum adalah 4 sendok teh, yaitu dari 2 + 2. Sehingga 2 2 artinya 2 + 2.
Arti dari aturan pemakaian obat di atas sebenarnya sama dengan arti perkalian dalam matematika.
“3 1” atau “2 2” dapat diartikan
3 1 = 1 + 1 + 1
2 2 = 2 + 2
Bilangan-bilangan dalam tanda kotak dapat diganti dengan lambang sebarang bilangan Asli, misalnya a. Sehingga bila diganti dengan huruf a, maka:
Perhatikan!
1 a ditulis a2 a atau ditulis 2a, dan 2a = a + a
3 a atau ditulis 3a, dan 3a = a + a + a
4 a atau ditulis 4a, dan 4a = a + a + a + a,
dan seterusnya.
Perhatikan resep dokter “obat batuk sehari 2 2 -sendok teh “. Dalam matematika, perkalian untuk bilangan yang sama, seperti “2 2” itu dapat ditulis 22 .Apakah pada obat yang dibeli dengan resep dokter dapat ditulis 22 ? Jawabannya tidak dapat. Mengapa? Coba jelaskan!
Selanjutnya pada matematika,
2 2 2 dapat ditulis 23.
2 2 2 2 2 dapat ditulis 25, dan seterusnya.
Penulisan itu berlaku juga untuk sebarang bilangan bulat, misalkan a. Dengan demikian berlaku hal berikut.
Perhatikan!
a1 ditulis a a4 = a a a a
a5 = a a a a a, dan seterusnya.

Perhatikan lagi huruf a dalam 2a, 3a atau a2. Huruf a tersebut dinamakan variabel, sedang 2a, 3a atau a2 disebut bentuk aljabar.
Contoh bentuk-bentuk aljabar dengan variabel a adalah 3a2 + a, -2a. Contoh bentuk-bentuk aljabar dengan variabel b adalah b2 + 4, 3b + 5 dan sebagainya.
Contoh bentuk-bentuk aljabar dengan variabel a dan b adalah b2 + a, 3b + 5a dan sebagainya.

Sederhanakan penulisannya !
a. 6 a
b. a a a a a a a

Penyelesaian:
a. 6 a = a + a + a + a + a + a = 6a
b. a a a a a a a = a7
Perhatikan bahwa 6a dapat ditulis dengan 1 6a atau dapat pula ditulis dengan 2 3a dan 6 a.
1, 2, 3, 6, a, 2a, 3a dan 6a disebut faktor dari 6a.
Diskusikan dengan temanmu, sebutkan faktor-faktor 10ab2 .

Perhatikan bentuk aljabar dalam variabel a di bawah ini.
5 a3 + 4 a2 – a2 + 9 a + 6
Dalam bentuk aljabar tersebut 5a3, 4a2, -a2, 9a dan 6 dinamakan suku. Dengan demikian bentuk aljabar di atas terdiri atas 5 suku. Bentuk aljabar itu disebut juga suku banyak atau polinomial.
Pada suku 5a3
5 disebut koefisien dari a3 dan
3 disebut pangkat atau eksponen dari a.
Begitu juga pada suku 4a2
4 disebut koefisien dari a2 dan
2 disebut pangkat atau eksponen dari a.
Perhatikan suku 4a2 dan –a2. Pangkat dari a pada kedua suku tersebut sama, yaitu 2. Sehingga kedua suku tersebut dinamakan suku sejenis. Suku disebut sejenis bila terdiri dari variabel yang sama dan pangkat variabel yang bersesuaian adalah sama.
Bila dalam bentuk aljabar terdapat suku-suku yang sejenis, maka suku-suku tersebut dapat disederhanakan dengan menjumlahkan atau memperkurangkan.


Sederhanakan bentuk aljabar berikut!
a. 3a2 + 4a2
b. –2b3 + 4b3
c. 9a – 13a
Penyelesaian:
a. 3a2 + 4a2 = (a2 + a2 + a2) + (a2 + a2 + a2 + a2 ) = 7a2
atau dengan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan
3a2 + 4a2 = (3 + 4)a2 = 7a2.
Untuk selanjutnya, kita pakai sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan untuk menjumlahkan bentuk aljabar itu.
b. –2b3 + 4b3 = (–2 + 4)b3 = 2b3
c. 9a – 13a = (9 – 13)a = -4a

Bentuk aljabar 5a3 + 4a2 – a2 + 9a + 6 dapat disederhanakan juga dengan mengumpulkan dan menjumlahkan atau mengurangkan suku-suku sejenis.
5a3 + 4a2 – a2 + 9a + 6 = 5a3 + (4-1) a2 + 9a + 6
= 5a3 + 3a2 + 9a + 6
Bentuk yang terakhir ini terdiri dari 4 suku, yaitu 5a3, 3a2, 9a dan 6.



Sederhanakan bentuk aljabar berikut.
a. 3x4 + 2x2 + x - 2
b. 6s3 + 2 s2 – 3 s2 + s - 5
Penyelesaian:
a. Bentuk aljabar ini tidak dapat disederhanakan lagi, karena tidak memiliki suku-suku yang sejenis.
b. 6s3 + 2 s2 – 3 s2 + s – 5 = 6s3 + (2 – 3) s2 + s – 5
= 6s3 + (– 1) s2 + s - 5
= 6s3 – s2 + s - 5
Bentuk aljabar kadangkala menggunakan “perkalian” antara variabel dengan lambang bilangan bulat. Sehingga untuk menyederhanakannya kita menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan atau terhadap pengurangan. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Gunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan atau terhadap pengurangan untuk menyederhanakan soal-soal di bawah ini.
a. 5 ( a + 2b) c.
b. 7 ( 2x – 5) d. (2a)3
Penyelesaian:
a. 5( a + 2b) = ( 5 a) + (5 2b)
= 5a + 10b
b. 7 ( 2x – 5) = 7 (2x) + 7(-5)
= 14x – 35
c. = a + b
= 5a + 7b
d. (2a)3 = 2a 2a 2a
= (2 2 2 ) (a a a )
= 23 a3
= 23a3


Sederhanakan bentuk aljabar di bawah ini.
a. 2x – 5y + 6x – 2y
b. 4a – 3b – 5a + 2b
Penyelesaian:
a. 2x – 5y + 6x – 2y = 2x + 6x – 5y – 2y
= (2 + 6) x + (- 5 – 2)y
= 8x + (-7)y
= 8x – 7y

b. 4a – 3b – 5a + 2b = 4a – 5a – 3b + 2b
= (4 - 5) a + (-3 + 2) b
= (-1) a + (-1) b
= - a – b
Perhatikan bahwa bentuk-bentuk aljabar selalu memuat satu atau lebih dari satu variabel. Variabel itu dapat diganti dengan sebarang bilangan bulat. Pada soal sering terdapat perintah untuk mengganti atau substitusi suatu variabel dengan bilangan tertentu. Bagaimana mendapatkan hasilnya? Perhatikan contoh berikut.



Jika p = 2, q = 3 dan r = 6, carilah hasil dari:
a. p + q
b. p + q + 2r
c. 3 p2 – 2r
Penyelesaian:
a. p + q = 2 + 3 = 5
b. p + q + 2r = 2 + 3 + 2(6) = 2 + 3 + 12 = 17
c. 3 p2 – 2r = 3 (2)2 – 2 (6) = 3 (4) – 12 = 12 – 12 = 0.

Kaitan dengan Dunia Nyata
3x
xPapan nama perusahaan, hotel-hotel atau tempat-tempat hiburan pada umumnya berbentuk suatu persegipanjang kadangkala dikelilingi lampu “neon”. Lampu tersebut berupa gelas tabung yang berisi gas. Setiap jenis gas yang berbeda menimbulkan warna lampu yang berbeda-beda. Bila panjang dan lebar suatu papan nama adalah 3x meter dan x meter. Berapakah keliling papan nama itu?

Penyelesaian:
Misalkan keliling papan nama = K meter, maka
K = 2 (3x + x)
= 2(3x) + 2(x)
= 6x + 2x
= 8x
Jadi keliling papan nama itu adalah 8x meter.





1. Sederhanakan bentuk aljabar berikut.
a. 4a - 3b - 5a + 2b e. 3x - 2y + 2x + 2y
b. 2x + 3 ( y - x) f. 12x2 - 8y2 + 3x2 - 4y2
c. 3p - 5 (-p + k) g. 3p2 + 2p - k + l
d. 2a - 4 (a -b) h. -4(a + b) - 3(2a + b)
2. Diketahui a = 3, b = 2 dan c = 1, tentukanlah:
a. nilai T, jika T = a2 - 2ab + bc.
b. nilai A, jika A = 2ab - bc
c. nilai N, jika N = abc + abc2.
d. nilai E, jika E = ab - bc - ac
e. nilai I, jika I = a3 - 2 bc + c2
3. Sebuah benda dijatuhkan tanpa kecepatan awal dari suatu ketinggian. Bila persamaan geraknya dinyatakan dengan rumus h = 5t2 + t, dengan h merupakan jarak benda (dalam meter) setelah benda dijatuhkan selama t detik, berapa jauhkah turunnya benda itu setelah
a. 2 detik? b. 3 detik?

4. Umur Totok sekarang 13 tahun. Lima tahun yang akan datang umur Totok sama dengan 2 kali umur Tono. Berapakah umur Tono sekarang?

5. Uang Netty Rp57.500,00, sedangkan uang Iin Rp6.250,00 lebih banyak dari uang Netty. Berapakah uang Iin?

3n
3n6. Gambar di bawah ini adalah persegi dengan panjang sisi 3n.
a. Nyatakan keliling persegi dalam n.
b. Nyatakan luas persegi dalam n.
c. Bila n = 3, tentukanlah keliling dan luasnya!

7. Umur Ida 5 tahun lebih tua daripada umur Ifa.
a. Jika umur Ifa sekarang x tahun, nyatakan umur Ida dalam x !
b. Berapakah jumlah umur mereka sekarang, nyatakan dalam x.
c. Berapa umur Ifa 4 tahun lagi, nyatakan dalam x !

8. Pada ulangan matematika nilai ulangan Maman 12 lebih dari nilai Wati.
a. Jika nilai Wati x, nyatakanlah nilai Maman dalam x !
b. Berapakah jumlah nilai mereka ? Nyatakan jumlah nilai mereka dalam x.

9. Amar mempunyai kelereng 120 butir. Dia bermain dengan Bambang yang mempunyai kelereng 110 butir. Setelah bermain, kelereng Amar tinggal 112 butir. Berapa kelereng Bambang setelah bermain dengan Amar ?